Question

【题目】(本题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.

(1)求点D到平面PBC的距离；

(2)设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角B-CQ-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】分析：（1）利用等体积法即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用换元法可得，再结合函数在上的单调性，计算即得结论.

详解：(1)S△BCD=BC×AB=, 由于PA⊥平面ABCD,从而PA即为三棱锥P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.

设点D到平面PBC的距离为h.

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC,又由于BC⊥AB,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.

由于BP＝＝,所以S△PBC=BC×PB=.故VD-BCP=S△BCP×h=h

因为VP-BCD=VD-BCP，所以h=.

(2)以{，， }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

设＝λ，(0≤λ≤1)

因为＝(－1,0,2)，所以＝(－λ,0,2λ)，

由＝(0,－1,0)，得＝＋＝(－λ,－1,2λ)，

又＝(0,－2,2)，

从而cos〈，〉＝＝.

设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，

则cos2〈，〉＝＝≤.

当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为.

因为y＝cos x在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．

又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.

＝(0,－1,0)，＝(1,1，－2)

设平面PCB的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则m·＝0，m·＝0，

即得： y＝0，令z＝1，则x＝2.

所以m＝(2,0,1)是平面PCB的一个法向量．

又＝＋＝(－λ,－1,2λ)＝(－,－1,)，＝(－1,1 ,0)

设平面DCQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝0，n·＝0，

即取x＝4，则 y＝4，z＝7，

所以n＝(4,4,7)是平面DCQ的一个法向量．

从而cos〈m，n〉＝＝，

又由于二面角B-CQ-D为钝角，所以二面角B-CQ-D的余弦值为－.