Question

【题目】已知函数f （x）=ex﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x． ①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；
②若函数F（x）= 的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1 ， x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，

①h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣1，h′（x）=ex﹣2，

由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，

故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；

②f′（x）=ex﹣e，

x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，

x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，

m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[em﹣em﹣1，+∞），

g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），

∵F（x）的值域是R，故em﹣em﹣1≤（2﹣e）m，

即em﹣2m﹣1≤0，（*），

由①可知m＜0时，h（x）=em﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，

∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，

∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；

m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，

故函数f（x）=ex﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），

g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），

∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤ ，

综上，m的范围是[0， ]

（2）解：证明：f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，

由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，

∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，

若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，

同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），

不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，

∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），

∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），

由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，

故f（1）≤f（x1）=f（x2），

又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），

故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），

即 ，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，

∴e﹣1≤a≤e2﹣e

【解析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．