Question

【题目】(本题满分12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.

(1) 求f(x)的解析式;

(2) 设, 若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) f(x)=x+1.

(2) a≤0.

【解析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；

（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.

详解：(1)设f(x)=kx+b，则

解得：k=b=1, 故f(x)=x+1.

(2) 由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化为|g(x)|≥ax.

∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：

(I)恒成立

若x＝0，不等式显然成立；

若x<0时，不等式等价于x－2≤a.

∵x－2<－2，∴a≥－2.

(II)恒成立

方法一[分离参数]：可化为a≤在(0, ＋∞)上恒成立。

令h(x)=,则h′(x)= =

令t(x)=x－(x+1)ln(x+1), 则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0, ＋∞)上单调递减,

故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0

从而h(x)在(0, ＋∞)上单调递减

又当x>0时,恒有h(x)= >0

于是a≤0.

方法二[分类讨论]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0

令φ(x)= ln(x+1)－ax，则φ′(x)=－a=

当a≤0时, φ(x)在(0,＋∞)上单调递增,故有φ(x)> φ(0)=0成立;

当0<a<1时, φ(x)在(0,－1)上单调递增, 在(－1＋∞)是递减.

取x=－1, 易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合题意；

当a≥1时, φ(x)在(0,＋∞)上单调递减，显然不合题意。

所以a≤0.

方法三[数形结合]：

根据函数图象可知a≤0.

综合(1)(2)得－2≤a≤0.