Question

数列{a_n}，{b_n}(n＝1，2，3…)由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：当a_k－1＋b_k－1≥0时，a_k＝a_k－1，b_k＝；当a_k－1＋b_k－1＜0时，a_k＝，b_k＝b_k－1．

(Ⅰ)若a₁＝－1，b₁＝1，写出a₂，a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)在数列{b_n}中，若b₁＞b₂＞…b_s(s≥3，且s∈N^*)，试用a₁，b₁表示b_kk∈{1，2，…，s}；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设数列{c_n}(n∈N^*)满足c₁＝，c_n≠0，c_n+1＝－(其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当n≤m时，恒有c_n＜1．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因为，所以，． 　　因为，所以，． 　　因为，所以，． 　　所以．2分 　　由此猜想，当时，，则，．3分 　　下面用数学归纳法证明： 　　①当时，已证成立． 　　②假设当(，且)猜想成立， 　　即，，． 　　当时，由，得，则，． 　　综上所述，猜想成立． 　　所以． 　　故．6分 　　(Ⅱ)解：当时，假设，根据已知条件则有， 　　与矛盾，因此不成立，7分 　　所以有，从而有，所以． 　　当时，，， 　　所以；8分 　　当时，总有成立． 　　又， 　　所以数列()是首项为，公比为的等比数列，，， 　　又因为，所以．10分 　　(Ⅲ)证明：由题意得 　　． 　　因为，所以． 　　所以数列是单调递增数列．11分 　　因此要证，只须证． 　　由，则＜，即．12分 　　因此． 　　所以． 　　故当，恒有．14分