Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调增区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用导数进行理解，即h'（x）＞0在（0，+∞）上有解．可得不等式ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，结合根的判别式列式，即可得到a的取值范围．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根，即ax²+（1-2a）x-lnx=0，设h（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，再利用利用导数讨论h（x）的单调性，由此建立不等式组并解之，可得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得h（x）=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，
则h'（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，…（2分）
∵函数h（x）存在单调递增区间，∴h'（x）＞0在（0，+∞）上有解，
即不等式ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a＜0时，y=ax²+2x-1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=-

1

a

＞0要使ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上总有解，只需△=4+4a＞0，即a＞-1．即-1＜a＜0
②当a＞0 时，y=ax²+2x-1的图象为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0 一定有解．
综上，a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）                         …（5分）
（Ⅱ）方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)
则

lnx

x

=ax+2-(2a+1)=ax+(1-2a)
即ax²+（1-2a）x-lnx=0…（6分），
设h（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
于是原方程在区间(

1

e

，e)内根的问题，转化为函数h（x）在区间(

1

e

，e)内的零点问题

h′(x)=2ax+(1-2a)- 1 x = 2ax2+(1-2a)x-1 x = (2ax+1)(x-1) x 当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数； 当x∈(1，+∞)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数；

…（9分）

若h(x)在( 1 e ，e)内有且只有两个不相等的零点，只须 h( 1 e )= a2 e2 + 1-2a e +1= (1-2e)a+e2+e e2 ＞0 h(x)min=h(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 h(e)=ae2+(1-2e)a-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

…（12分）
解得1＜a＜

e2+e

2e-1

，所以a的取值范围是(1，

e2+e

2e-1

)…（14分）

点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．