Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若x∈[0，1]时，f（x）＜0很成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．∵x=0，a∈R，∴|x-a|＜

2

x

，0＜x≤1，即x-

2

x

＜a＜x+

1

x

，由x-

2

x

和x+

2

x

，当x∈(0，1]时分别单调递增和递减，即可得出答案；
（2）原不等式化为

x≥a x2-ax-2＜0

（1）或

x＜a x2-ax+2＞0

（2），解（1）得：a≤x＜

a+ a2+8

2

；解（2）得：-2

2

＜a＜2

2

时，x＜a；然后讨论即可得出答案．

解答：解：（1）x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．
∵x=0，a∈R
∴|x-a|＜

2

x

，0＜x≤1，
即x-

2

x

＜a＜x+

1

x

，
∵x-

2

x

和x+

2

x

，当x∈(0，1]时分别单调递增和递减，
∴-1＜a＜3．
（2）原不等式化为

x≥a x2-ax-2＜0

（1）
或

x＜a x2-ax+2＞0

（2）
解（1）得：a≤x＜

a+ a2+8

2

；
解（2）得：-2

2

＜a＜2

2

时，x＜a；
a=2

2

时，x＜a且x≠a/2；a=-2

2

时，x＜a；a＞2

2

时，
x＜

a- a2-8

2

或

a+ a2-8

2

＜x＜a；a＜-2

2

时，x＜a．

综合可知：
当a＜2

2

时，x＜

a+ a2+8

2

；a=2

2

时，x＜2

2

，且x≠

2

；a＞2

2

时，x＜

a- a2-8

2

或

a+ a2-8

2

＜x＜

a+ a2+8

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题及分段函数，难度较大，关键是要在求解过程中，要比较a与

a- a2+8

2

及a与

a± a2-8

2

的大小．