Question

18．设函数y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$（x∈R，x≠$\frac{n-2}{3}$，n∈N^*）的最大值和最小值分别为a_n和b_n，且c_n=a_n+b_n+a_nb_n-15，S_n=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$整理成二次方程的形式，运用判别式大于等于0，再由韦达定理，化简c_n=4n-12，求得T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2n-10）n，讨论n≤3，S_n=-T_n；当n＞3，n∈N^*，S_n=T_n-2T₃，计算即可得到．

解答 解：由y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$可得
（y-2）x²+（y+1）x+（y-n）=0，
由x≠$\frac{n-2}{3}$可得y≠2，
由△≥0即为（y+1）²-4（y-2）（y-n）≥0，
即有3y²-（10+4n）y+8n-1≤0，
由题意可得a_n和b_n为方程3y²-（10+4n）y+8n-1=0的两根，
即有a_n+b_n=$\frac{10+4n}{3}$，a_nb_n=$\frac{8n-1}{3}$，
则c_n=a_n+b_n+a_nb_n-15=$\frac{10+4n}{3}$+$\frac{8n-1}{3}$-15=4n-12，
令T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2n-10）n，
当n≤3，n∈N^*时，S_n=-T_n=10n-2n²；
当n＞3，n∈N^*，S_n=T_n-2T₃=2n²-10n+24．
则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分式函数的值域的求法：判别式法，考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．