Question

9．设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数f（x）=|x-1|-|x+2|的解析式，从而求得f（x）＜0的解集M．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$． 化简|1-4ab|²-4|a-b|²=（4a²-1）（4b²-1）＞0，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）记f（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}3，x≤-2\\-2x-1，-2＜x＜1\\-3，x≥1\end{array}\right.$，
当-2＜x＜1时，由-2＜-2x-1＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，则M=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$． 
因为|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²） 
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，用比较法证明不等式，属于中档题．