Question

19．观察如图列数表：
第1行 1
第2行 1 3 1
第3行 1 3 9 3 1
第4行 1 3 9 27 9 3 1
根据如图列数表，数表中第n行中有2n-1个数，第n行所有数的和为2×3^n-1-1．

Answer 1

分析 设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S_n，数表中第n行中所有数的和为T_n，分析已知中的图表，可得T_n=S_n+S_n-1，代入等比数列前n项和公式，可得答案．

解答 解：由已知可得：
第1行有1个数；
第2行有3个数；
第3行有5个数；
…
归纳可得：第n行有2n-1个数；
设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S_n，
数表中第n行中所有数的和为T_n，
则T₂=S₂+S₁，
T₃=S₃+S₂，
T₄=S₄+S₃，
…
故T_n=S_n+S_n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$=2×3^n-1-1，
即数表中第n行中有2n-1个数，第n行所有数的和为2×3^n-1-1，
故答案为：2n-1，2×3^n-1-1

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．