Question

1．设数列{a_n}满足a₁=0，${a_{n+1}}=\frac{1}{{b-{a_n}}}$，n∈N^*．
（1）若b=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}-p}}{{p{a_n}-1}}$（其中常数p＞0，且p≠1），若{c_n}是等比数列，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若b=2，利用构造法或归纳法即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据{c_n}是等比数列，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）（方法一构造数列法） 当b=2时，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，${a_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{a_n}}}-1=\frac{{{a_n}-1}}{{2-{a_n}}}$，
…（2分）
而{a_n}中的任意一项不为1，（否则的话，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，与a₁=0≠1矛盾），
…（3分）
所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{a_n}}}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-1$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=-1$（常数），（n∈N*）．
故$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是首项为-1，公差为-1的等差数列．…（5分）
所以，$\frac{1}{{{a_n}-1}}=-n$，则数列{a_n}的通项公式为${a_n}=1-\frac{1}{n}$，（n∈N*）．…（6分）
（方法二举例-猜想-证明） 当b=2时，a₁=0，${a_2}=\frac{1}{2}$，${a_3}=\frac{2}{3}$，${a_4}=\frac{3}{4}$，…（1分）
猜想：${a_n}=\frac{n-1}{n}$，（n∈N*）．
以下用数学归纳法证明：①当n=1时，$\frac{1-1}{1}=0={a_1}$，猜想正确．
②假设当n=k（k∈N*）时，猜想正确，即${a_k}=\frac{k-1}{k}$．…（3分）
那么，当n=k+1时，${a_{k+1}}=\frac{1}{{b-{a_k}}}=\frac{1}{{2-\frac{k-1}{k}}}=\frac{（k+1）-1}{k+1}$，
即当n=k+1时，猜想也正确．…（5分）
由①，②，根据数学归纳法原理，猜想：${a_n}=\frac{n-1}{n}$，（n∈N*）正确．…（6分）
（2）（方法一）依题意，有${c_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}-p}}{{p{a_{n+1}}-1}}=\frac{{\frac{1}{{b-{a_n}}}-p}}{{\frac{p}{{b-{a_n}}}-1}}=\frac{{p{a_n}-pb+1}}{{{a_n}-b+p}}={p^2}•\frac{{{a_n}-p（\frac{b}{p}-\frac{1}{p^2}）}}{{p{a_n}-（pb-{p^2}）}}$，…（9分）
令$\frac{b}{p}-\frac{1}{p^2}=1$，则$b=p+\frac{1}{p}$．…（10分）
此时，$b=p+\frac{1}{p}＞2\sqrt{p×\frac{1}{p}}=2$，（∵p＞0，p≠1 ），∴实数b的取值范围：（2，+∞）．
…（14分）
（方法二）令1-bp=p²，因为${a_{n+1}}=\frac{1}{{b-{a_n}}}$，（n∈N*）．
所以${a_{n+1}}-p=\frac{1}{{b-{a_n}}}-p=\frac{{p{a_n}-bp+1}}{{b-{a_n}}}=\frac{{p{a_n}-{p^2}}}{{b-{a_n}}}=p•\frac{{{a_n}-p}}{{b-{a_n}}}$，①…（8分）
$p{a_{n+1}}-1=\frac{p}{{b-{a_n}}}-1=\frac{{{a_n}-b+p}}{{b-{a_n}}}=\frac{1}{p}•\frac{{p{a_n}-bp+{p^2}}}{{b-{a_n}}}=\frac{1}{p}•\frac{{p{a_n}-1}}{{b-{a_n}}}$，②…（10分）
①÷②，得$\frac{{{a_{n+1}}-p}}{{p{a_{n+1}}-1}}={p^2}•\frac{{{a_n}-p}}{pb-1}$，
即c_n+1=p²c_n，（n∈N*）．即1-bp=-p²时，能保证数列{c_n}是以p为首项，p²为公比的等比数列．…（12分）
此时，由1-bp=-p²，得$b=p+\frac{1}{p}＞2\sqrt{p×\frac{1}{p}}=2$，（∵p＞0，p≠1 ），
∴实数b的取值范围：（2，+∞）．…（14分）

点评 本题主要考查递推数列的应用，利用构造法是求解通项公式的基本方法，结合等比数列的定义和性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．