Question

20．已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集为R，求A的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，把要求的不等式转化为 $\left\{\begin{array}{l}{0＞x≥-1}\\{2x+1≥0}\end{array}\right.$ 或x≥0，由此求得它的解集．
（2）由题意可得a≥|x+1|-|x|恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x+1|-|x|的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）a=0时，函数f（x）=|x+1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜-1}\\{2x+1，-1≤x＜0}\\{1，x≥0}\end{array}\right.$，
故由f（x）=|x+1|-|x|≥0，可得 $\left\{\begin{array}{l}{0＞x≥-1}\\{2x+1≥0}\end{array}\right.$ 或x≥0，求得 x≥-$\frac{1}{2}$．
（2）不等式f（x）≥0的解集为R，等价于a≥|x+1|-|x|恒成立．
由于|x+1|-|x|≤|（x+1）-x|=1，∴a≥1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．