Question

5．已知函数f（x）=|x-a|，（a∈R）．
（1）若当0≤x≤4时，f（x）≤2恒成立，求实数a的取值；
（2）当0≤a≤3时，求证：f（x+a）+f（x-a）≥f（ax）-af（x）

Answer 1

分析 （1）解|x-a|≤2得，a-2≤x≤a+2，由当0≤x≤4时，f（x）≤2恒成立，可得：$\left\{\begin{array}{l}a-2≤0\\ a+2≥4\end{array}\right.$，解得答案．
（2）由0≤a≤3可得|a-1|≤2，进而f（ax）-af（x）≤2a，f（x+a）+f（x-a）≥2a．进而得到答案．

解答 解：（1）解|x-a|≤2得，a-2≤x≤a+2，
∵当0≤x≤4时，f（x）≤2恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-2≤0\\ a+2≥4\end{array}\right.$，
解得：a=2，
（2）∵0≤a≤3，
∴-1≤a-1≤2，
∴|a-1|≤2，
∴f（ax）-af（x）=|ax-a|-a|x-a|=|ax-a|-|ax-a²|≤|（ax-a）-（ax-a²）=|a²-a|=a|a-1|≤2a，
∵f（x+a）+f（x-a）=|x-2a|+|x|≥||（x-2a）-x|=|2a|=2a．
∴f（x+a）+f（x-a）≥f（ax）-af（x）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．