Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2(n-1)(n∈N*)，若S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2=4027，则n的值为（　　）

• A、4027
• B、2013
• C、2014
• D、4026

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列，从而S_n=2n²-n（n∈N^*），

Sn

n

=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），由此S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1．令2n-1=4027，得存在满足条件的自然数n=2014．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

Sn

n

+2(n-1)(n∈N*)，
∴S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．
于是，a_n=4n-3，S_n=2n²-n（n∈N^*）．
∴

Sn

n

=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），
∵S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2=4027，
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2
=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²
=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=4027，得n=2014，
即存在满足条件的自然数n=2014．
故选：C．

点评：本题考查满足条件的自然数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和等差数列的性质的合理运用．