Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-4x+3与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x+y+m=0交于A，B两点，且

OA

⊥

OB

，求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,二次函数的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）求出曲线y=x²-4x+3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（1，0），（3，0），确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）联立方程得到方程组，消元得到2x²+2mx+m²+4m+3=0，由韦达定理得x₁x₂，y₁y₂再由x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求解．

解答： 解：（Ⅰ）曲线y=x²-4x+3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（1，0），（3，0），
故可设C的圆心为（2，t），则有（2-0）²+（t-3）²=（2-1）²+（t-0）²解得t=2，
则圆C的半径为

(2-1)2+22

=

5

所以圆C的方程为（x-2）²+（y-2）²=5．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x+y+m=0 (x-2)2+(y-2)2=5

，
消去y，得到方程2x²+2mx+m²+4m+3=0，…（6分）
由已知可得，判别式△=4m²-4×2（m²+4m+3）＞0，化简得m²+8m+6＜0，…（7分）
x₁+x₂=m，x1x2=

m2+4m+3

2

①…（8分）
由于

OA

⊥

OB

，可得x₁x₂+y₁y₂=0…（9分）
又y₁=-x₁-m，y₂=-x₂-m所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0②…（10分）
由①，②得m=-1或m=-3，满足△＞0，
故m=-1或m=-3．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题．