Question

设f（x）=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₁₄（x）=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由于f（x）=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可得f₅（x）=f（f₄（x））=

1+x

1-x

=f（x）=f₁（x）．于是f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）．即可得出．

解答： 解：∵f（x）=

1+x

1-x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

1+ 1+x 1-x

1- 1+x 1-x

=

2

-2x

=-

1

x

，f₃（x）=f（f₂（x））=

1- 1 x

1+ 1 x

=

x-1

x+1

，f₄（x）=f（f₃（x））=

1+ x-1 x+1

1- x-1 x+1

=

2x

2

=x，f₅（x）=f（f₄（x））=

1+x

1-x

=f（x）=f₁（x）．
∴f_n+4（x）=f_n（x）．
∴f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）=-

1

x

．
故答案为：-

1

x

．

点评：本题考查了数列与函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．