Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁+a_2n-1=2n，n∈N^*，设S_n是数列{

1

an

}的前n项和，记f（n）=S_2n-S_n．
（1）求a_n；
（2）比较f（n+1）与f（n）的大小；
（3）（理）若不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0对一切大于1的自然数n和所有使不等式有意义的实数x都成立，求实数t的取值范围．
（文）如果函数g（x）=x²-3x-3-12f（n）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以数列中的每一项均可用首项和公差表示，代入a₁+a_2n-1=2n，即可求出a_n．
（2）根据等差数列的通项公式，求出函数f（n）的表达式，再用作差法比较f（n+1）与f（n）的大小．
（3）（理）不等式化为t＜

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2），要使对一切大于1的自然数n和所有使不等式有意义的实数x都成立，则t＜（

96f(n)

x(2-x)

）_min（0＜x＜2），由此可求t的取值范围；
（文）确定f（n）的最小值为f（2）=

7

12

，从而函数g（x）=x²-3x-3-12f（n）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零等价于x²-3x-3-7＜0，由此可确定x的取值范围．

解答：解：（1）设a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N^*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

2

+…+

1

n

f（n）=S_2n-S_n=（1+

1

2

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

因为f（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
所以f（n+1）＞f（n）
（3）（理）不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0可化为log₂t＜log₂

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2）
∴t＜

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2）
要使对一切大于1的自然数n和所有使不等式有意义的实数x都成立，则t＜（

96f(n)

x(2-x)

）_min（0＜x＜2）
由（2）可知：数列{f（n）}的项的取值是随n的增大而增大，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=

7

12

当0＜x＜2时，x（x-2）的最大值为1
∴（

96f(n)

x(2-x)

）_min=56（0＜x＜2）
∴t＜56
（文）由（2）可知：数列{f（n）}的项的取值是随n的增大而增大，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=

7

12

∴函数g（x）=x²-3x-3-12f（n）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零等价于x²-3x-3-7＜0
∴x²-3x-10＜0
∴-2＜x＜5

点评：本题主要考查了函数与数列的综合运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的最值是关键．