Question

【题目】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，；(2)为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】试题分析：（1）求出抛物线的焦点和准线方程，设直线方程是，代入拋物线方程，运用韦达定理，结合拋物线方程，即可得证；（2）运用拋物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值；（3）求出的中点坐标，以及的长，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：即可得证.

试题解析：　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，

代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝ (定值).

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切