Question

【题目】已知圆过， ，且圆心在直线上．

（Ⅰ）求此圆的方程．

（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．

（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或；（Ⅲ） ．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）圆过两点，则圆心必在线段的垂直平分线上，可先求出线段的垂直平分线的方程，再与已知直线方程联立方程组解得圆心坐标，然后求出半径可得标准方程；

（Ⅱ）与题直线垂直，可设方程为，再由圆心到切线距离等于半径求得参数即可；

（Ⅲ）面积的最大值即点到直线距离最大时取得，求出圆心到直线的距离，最大距离为，最小距离为为，从而可得最大面积．

试题解析：

（Ⅰ）易知中点为， ，

∴的垂直平分线方程为，

即，

联立，解得．

则，

∴圆的方程为．

（Ⅱ）易知该直线斜率为，

不妨设该直线方程为，

由题意有，解得．

∴该直线方程为或．

（Ⅲ），即，

圆心到的距离．

∴

．