Question

已知函数f(x)=(

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2

)x+(

1

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)x-2．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）求f（x）的值域；
（3）解方程f（x）=0；
（4）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）此函数由y=t²+t-2与t=(

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)x两个函数复合而成，判断出内层函数的单调性以及内层函数的值域与外层函数的单调区间的关系，再由复合函数单调性的判断规则同增异减得出复合函数的单调性；
（2）由（1）内层函数的值域是（0，+∞），解出外层函数y=t²+t-2在（0，+∞）上的值域，求得函数的值域；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解出t=1，令(

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)x=1解出x的值即可得到方程的根；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

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)x＞1，解得x的取值范围，即为原不等式的解集

解答：解：（1）此函数由y=t²+t-2与t=(

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)x两个函数复合而成，由于t=(

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)x是一个减函数，且其值域为（0，+∞），函数
y=t²+t-2在（-

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，+∞）是增函数，此复合函数外增内减，故是单调递减函数；
（2）由（1）内层函数的值域是（0，+∞），外层函数在（0，+∞）上是增函数，故函数的值域为（-2，+∞）；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解得t=-2（舍）或t=1，令(

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)x=1解得x=0；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

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2

)x＞1，解得x＜0，即不等式的解集是（-∞，0）．

点评：本题考查复合函数的单调性，解此类题关键是分清内外层函数及它们的性质，本题将复合函数性质研究问题一分为二研究单调性，这是复合函数单调性研究常用的方法，在求解复合函数的值域时采取的顺序是先内而外，解此类方程或解此类不等式时由外而内，题后注意体会总结复合函数中这几个题型的解题的方法规律．