Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为等边三角形.

   （1）求PC与平面ABCD所成角的大小；

   （2）求二面角B―AC―P的大小；

   （3）求点A到平面PCD的距离.

Answer 1

解法一：

   （1）解：设O为AB中点，连结PO，CO，∵PA=PB，∴PO⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABCD，且交线为AB，∴PO⊥平面ABCD.

∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角.

由底面正方形边长为2，△PAB为等边三角形，可得PO=，CO=

∴

∴PC与平面ABCD所成的角大小为

   （2）解：过O做OE⊥AC，垂足为E，连结PE.

∵PO⊥平面ABCD，则三垂线定理，可知PE⊥AC，

∴∠PEO为二面角B―AC―P的平面角.

可求得OE=. 又PO= ∴

∴二面角P―AC―B的大小为

   （3）解：∵AB∥平面PCD，∴点A到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离.

取CD中点M，连结OM，PM，∵PO⊥CD，OM⊥CD，∴CD⊥平面POM.

∴平面POM⊥平面PCD. 过O做ON⊥PM，垂足为N，则ON⊥平面PCD.

在△POM中，PO=，OM=2，可得PM=，

∴点A到平面PCD的距离为

解法二：

   （1）解：同解法一

   （2）解：建立如图的空间直角坐标系O―xyz，

则A（－1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）

       设为平面PAC的一个法向量，

       则

       又

    令z=1，得

       得

       又是平面ABC的一个法向量，

       设二面角B―AC―P的大小为，

则

 

   （3）解：设为平面PCD的一个法向量.

       则 由D（－1，2，0），可知），

       可得a=0，令，则c=2.

       得，

       设点A到平面PCD的距离为d，则

       ∴点A到平面PCD的距离为