Question

2．证明y=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 证明：设任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1{{+x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{1{{+x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{{{（x}_{2}+x}_{1}）{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（1{{+x}_{1}}^{2}）（1{{+x}_{2}}^{2}）}$，
因为0≤x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞0，（1+${{x}_{1}}^{2}$）（1+${{x}_{2}}^{2}$）＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数y=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$在x∈[0，+∞）是单调减函数．

点评 本题考查了利用函数的单调性定义来证明函数在某一区间上的单调性问题，是基础题目．