Question

1．设函数f（x）=2cos²（x+$\frac{π}{8}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈（0，3π）则下列判断正确的是（　　）

• A． 函数的一条对称轴为$x=\frac{π}{6}$
• B． 函数在区间$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}]$内单调递增
• C． ?x₀∈（0，3π），使f（x₀）=-1
• D． ?a∈R，使得函数y=f（x+a）在其定义域内为偶函数

Answer 1

分析 利用降幂公式和辅助角公式化简，然后利用余弦函数的性质逐一核对四个选项得答案．

解答 解：f（x）=2cos²（x+$\frac{π}{8}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=1+cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}cos2x+1$，x∈（0，3π）．
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}cos\frac{π}{3}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$，∴A错误；
当x∈$[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}]$时，2x∈[π，$\frac{5π}{2}$]，∴B错误；
由f（x）=-1，得$\sqrt{2}cos2x+1=-1$，即cos2x=$\sqrt{2}$，∴不存在实数x使f（x）=-1，C错误；
当$a=\frac{3π}{2}$时，f（x+a）=f（x$+\frac{3π}{2}$）=$\sqrt{2}cos2（x+\frac{3π}{2}）+1=-\sqrt{2}cos2x+1$为偶函数，∴D正确．
故选：D．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了正弦型函数的图象和性质，是中档题．