Question

已知关于x的方程x²-xcosA•cosB+2sin²

C

2

=0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是（　　）

A．直角三角形

B．钝角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

Answer 1

分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．

解答：解：设已知方程的两根分别为x₁，x₂，
根据韦达定理得：x₁+x₂=cosAcosB，x₁x₂=2sin²

C

2

=1-cosC，
∵x₁+x₂=

1

2

x₁x₂，
∴2cosAcosB=1-cosC，
∵A+B+C=π，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A-B）=1，
∴A-B=0，即A=B，
∴△ABC为等腰三角形．
故选C

点评：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．