Question

如图，F₁，F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，点P是椭圆和双曲线的一个交点，并且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分别是椭圆和双曲线的离心率，则（　　）

• A、e₁e₂≥2
• B、e12+e22≥4
• C、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• D、e1+e2≥2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，双曲线的方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1，由题设条件，结合双曲线和椭圆的定义能推导出a²+m²=2c²，由此能求出结果．

解答： 解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
双曲线的方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1，
则|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=4a²，（1）
||PF₁|-|PF₂||=2m，∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4m²，（2）
∵PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
[（1）+（2）]÷2，得
|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²=4c²，
∴a²+m²=2c²，
∴

a2

c2

+

m2

c2

=2，
∴

1

e12

+

1

e22

=2，
故选：C．

点评：本题考查双曲线和椭圆的离心率的性质，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、椭圆的简单性质．