Question

已知函数f(x)=|x+

1

x

|+|x-

1

x

|，若F（x）=f²（x）+a•f（x）+b有6个不同的零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用分段函数求出f（x）的表达式，然后作出函数f（x）的图象，根据图象利用换元法将条件进行转化，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：函数f(x)=|x+

1

x

|+|x-

1

x

|=

2x，x≥1 2 x ，0＜x＜1 - 2 x ，-1＜x＜0 -2x，x≤-1

，
作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），
则由图象可知，当t＞2时，方程t=f（x）有4个不同的根，
当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，
当t＜2时，方程t=f（x）有0个不同的根，
由F（x）=f²（x）+a•f（x）+b=0等价为t²+at+b=0，
若F（x）=f²（x）+a•f（x）+b有6个不同的零点，
则方程t²+at+b=0有两个不同的根，
其中t₁=2，t₂＞2，
则-a=t₁+t₂＞4，
∴a＜-4．
故答案为：a＜-4．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用条件求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．