Question

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则可得f^′（x）=lnx+1（x＞0），进而得到当x∈(0，

1

e

)时与当x∈(

1

e

，+∞)时，函数f（x）的单调性及极小值，也即最小值．
（II）由（I）可知：f(m)≥-

1

e

．同理利用导数即可得到g（x）的极大值即最大值．只要证明对任意n∈（0，+∞），都有g(n)max≤-

1

e

即可．

解答：（I）解：∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1（x＞0），
当x∈(0，

1

e

)时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此，当x=

1

e

时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（II）证明：由（I）可知：f(m)≥-

1

e

．
由g（x）=

x

ex

-

2

e

，得g′(x)=

1-x

ex

．
当x∈（0，1）时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，g(1)=

1

e

-

2

e

=-

1

e

．
∴对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．