Question

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）-f（x+5）≤m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由不等式f（x）≤4，求得 a-4≤x≤a+4．再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}，可得a-4=-2，且a+4=6，由此求得a的值．
（2）由题意可得|x-2|-|x+3|的最大值小于或等于m，而|x-2|-|x+3|≤|（x-2）-（x+3）|=5，可得m≥5．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤4，即|x-a|≤4，即-4≤x-a≤4，求得 a-4≤x≤a+4．
再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}，可得a-4=-2，且a+4=6，求得 a=2．
（2）在（1）的条件下，若f（x）-f（x+5）≤m对一切实数x恒成立，即|x-2|-|x+3|≤m恒成立，
故|x-2|-|x+3|的最大值小于或等于m．
而|x-2|-|x+3|≤|（x-2）-（x+3）|=5，∴m≥5，即m的范围为[5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．