Question

(本小题满分13分)
已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|².
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.

Answer 1

解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，
则由渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切可得＝，
所以k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.(3分)
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x²－4y²＝m，
把直线l的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程，
整理得3x²－8x－16－4m＝0，
则x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|²，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴(x_P－x_A)(x_B－x_P)＝(x_P－x_C)²，即(x_B＋4)(－4－x_A)＝16，
整理得4(x_A＋x_B)＋x_Ax_B＋32＝0.
将(*)代入上式得m＝28，
∴双曲线的方程为－＝1.(8分)
(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a>2)，
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为P(x₀，y₀)，
则＋＝1，＋＝1，
两式作差得＋＝0.
由于＝－4，x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，
所以－＝0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分.
又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以＝，即a²＝56，
故椭圆S的方程为＋＝1.(13分)

略