Question

在△A BC中，角 A．B．C所对的边分别为a．b．c，已知sin² B+sin²C=sin² A+sin BsinC．
（1）求角 A的大小；
（2）若cosB=

1

3

，a=3，求c值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由cosB的值求出sinB的值，再由cosA与sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+B），把各自的值代入求出sin（A+B）的值，即为sinC的值，利用正弦定理求出c的值即可．

解答： 解：（1）由正弦定理可得b²+c²=a²+bc，
由余弦定理：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）由（1）可知，sinA=

3

2

，
∵cosB=

1

3

，B为三角形的内角，
∴sinB=

2 2

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3 +2 2

6

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得c=

asinC

sinA

=

3× 3 +2 2 6

3 2

=

3+2 6

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．