Question

已知函数f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）若f（x0）=2，x₀∈[0，

π

2

]，求x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先利用三角函数关系式对三角函数进行恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，进一步利用公式求出函数的最小正周期和单调区间．
（Ⅱ）利用第一步的函数关系式，根据函数的定义域求出函数关系式中角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1+2sin2x+

3

sin2x
=1+2×

1-cos2x

2

+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x+2
=2×(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+2
=2sin(2x-

π

6

)+2
所以，f(x)的最小正周期T=

2π

2

=π
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
化简得  kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

所以，函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（Ⅱ）因为  f（x₀）=2，
所以2sin(2x0-

π

6

)+2=2
即 sin(2x0-

π

6

)=0
又因为x0∈[0，

π

2

]
所以 2x0-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
则   2x0-

π

6

=0，即x0=

π

12

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，利用整体思想求函数的单调区间，利用三角函数的定义域求函数的角的大小．属于基础题型．