Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+

2

相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF₁F₂=∠PF₁Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出椭圆的焦点，由离心率可得b=c，再由直线和圆相切的条件d=r，可得b=1，进而得到a，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），F₁（-1，0），由∠RF₁F₂=∠PF₁Q，可得直线QF₁和RF₁关于x轴对称，运用直线的斜率公式，设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，化简整理即可得到t=2k，进而得到直线l恒过定点（-2，0），由二次不等式解法即可得到k的范围．

解答： （Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
椭圆的离心率为

2

2

，即有

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，b=

a2-c2

=c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x²+y²=b²，
直线y=x+

2

与圆相切，则有

| 2 |

2

=1=b，
即有a=

2

，
则椭圆C的方程为

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），F₁（-1，0），
由∠RF₁F₂=∠PF₁Q，可得直线QF₁和RF₁关于x轴对称，
即有kQF1+kRF1=0，即

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=0，
即有x₁y₂+y₂+x₂y₁+y₁=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
判别式△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，
即为t²-2k²＜1②
x₁+x₂=

-4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，③
y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
代入①可得，（k+t）（x₁+x₂）+2t+2kx₁x₂=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（-2，0）．
将t=2k代入②，可得2k²＜1，
解得-

2

2

＜k＜0或0＜k＜

2

2

．
则直线l的斜率k的取值范围是（-

2

2

，0）∪（0，

2

2

）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．