Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用||x-1|+2|＜5，转化为-7＜|x-1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．

解答： 解：（1）由||x-1|+2|＜5，得-5＜|x-1|+2＜5
∴-7＜|x-1|＜3，
得不等式的解为-2＜x＜4…（5分）
（2）因为任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5，
所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5．…（10分）

点评：本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．