Question

（2007•河东区一模）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且满足条件4sinB•sin²（

π

4

+

B

2

）+cos2B=1+

3

．
（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）若a=4，S=5

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB=

3

2

，结合B是△ABC的内角可B=

π

3

或B=

2π

3

；
（II）根据正弦定理的面积公式，算出边c=5．再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值等于

21

或

61

．

解答：解：（Ⅰ）由4sinB•sin²（

π

4

+

B

2

）+cos2B=1+

3

，得
2sinB•[1-cos（

π

2

+B）]+1-2sin²B=1+

3

，可得sinB=

3

2

，
又∵B是△ABC的内角，∴B=

π

3

或B=

2π

3

；
（II）∵a=4，S=5

3

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

×4×c×

3

2

=5

3

，解之得c=5
∵由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB
∴当B=

π

3

时，b=

16+25-2×4×5×cos60°

=

21

；
当B=

2π

3

时，b=

16+25-2×4×5×cos120°

=

61

．
即边b的值等于

21

或

61

点评：本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．