Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，作EF⊥PB于点F．
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求PA与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定与性质定理可得DE⊥PB，又EF⊥PB，即可证明．
（2）连接AC交PD于O，连接OP，由于AO⊥平面PBD，可得∠OPA即为PA与平面PDB所成角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥DC，
∴BC⊥面PDC，
∴DE⊥BC
又DE⊥PC，
∴DE⊥面PBC，
∴DE⊥PB，
又已知EF⊥PB，
∴PB⊥面DEF．
（2）解：连接AC交PD于O，连接OP，
∵AO⊥平面PBD，
∴∠OPA即为PA与平面PDB所成角．
在Rt△PAD中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$AD，
在Rt△AOP中，sin∠OPA=$\frac{OA}{PA}$=$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}AD}}{{\sqrt{2}AD}}$=$\frac{1}{2}$．
∴sin∠OPA=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．