【题目】(导学号:05856287)
已知点A(0,1)与B(, )都在椭圆C: (a>b>0)上,直线AB交x轴于点M.
(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标;
(Ⅱ)设O为原点,点D与点B关于x轴对称,直线AD交x轴于点N.问:y轴上是否存在点E,使得∠OEM=∠ONE?若存在,求点E的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) +y2=1. 点M(,0) (2) 在y轴上存在点E,使得∠OEM=∠ONE,且点E的坐标为(0,2)或(0,-2).
【解析】试题分析:(1)由点A(0,1)与B(, )都在椭圆C: (a>b>0)上,利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程,由此能求出点M的坐标.
(2)由已知求出D(,﹣),直线AD:3x+2y﹣2=0,从而求出N(,0),设E(0,y0),由∠OEM=∠ONE,得到||=||,从而求出y轴上是否存在点E(±2,0),使得∠OEM=∠ONE.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得∴
故椭圆C的方程为+y2=1.
直线AB方程为y=-x+1,与x轴交于点M(2,0).
(Ⅱ)因为点D与点B关于x轴对称,
所以D(,-),
直线AD方程为y=-x+1,
与x轴交点N(,0).
“存在点E(0,yE)使得∠OEM=∠ONE”等价于“存在点E(0,yE)使得=”,
即yE满足y=|xM||xN|.
∴y=2×=4,∴yE=±2,
故在y轴上存在点E,使得∠OEM=∠ONE,且点E的坐标为(0,2)或(0,-2).
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【题目】为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行,某甲乙两个单位各有200名员工,为了了解员工低碳出行的情况,统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下:
(1)若甲单位数据的平均数是122,求;
(2)现从如图的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天),记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为, ,令,求的分布列和期望.
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【题目】(2017·河西五市二联)下列说法正确的是( )
A. 命题“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B. 命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题
C. “x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立”
D. 命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
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【题目】已知数列是递增的等比数列,满足,且是、的等差中项,数列满足,其前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)过点(1, ),且离心率e=.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足·=0,试判断直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C:,其中(e为椭圆离心率),焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)求直线l的方程.
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