Question

15．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足$\overrightarrow{{A_1}P}$=λ$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，可得向量$\overrightarrow{PN}$的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当λ=$\frac{1}{2}$时，角θ达到最大值．

解答 解：以AB、AC、AA₁分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，

则$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$-λ，$\frac{1}{2}，-1$），
易得平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，于是问题转化为二次函数求最值，
而θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，当θ最大时，sinθ最大，
所以当λ=$\frac{1}{2}$时，sinθ最大为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．
故选：A．

点评 本题给出特殊三棱柱，探索了直线与平面所成角的最大值，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题．