Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）（a＞0），试证明：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数．
（2）作差法：只需证明

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）＞0即可，作差后化简根据条件即可证明；
（3）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=-1，且最小值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a=c=

1

4

，b=

1

2

，最后验证即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）=

1

2

（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a(

x1+x2

2

)2+b•

x1+x2

2

+c]
=a[

x12

2

+

x22

2

-(

x1+x2

2

)2]=

1

4

a(x1-x2)2，
因为a＞0，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），
所以

1

4

a(x1-x2)2＞0，故

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）；
（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）_min=0，
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0⇒b=2a，b²=4ac⇒4a²=4ac⇒a=c，
由②知对?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）²，
令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，
由

a+b+c=1 b=2a a=c

解得a=c=

1

4

，b=

1

2

，
当a=c=

1

4

，b=

1

2

时，f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）2，其顶点为（-1，0）满足条件①，
又f（x）-x=

1

4

（x-1）2，所以对?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）2，满足条件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．

点评：本题考查函数的零点、不等式的证明及函数恒成立问题，考查综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大．