Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，b•sinA=6c•sinB，a=6，cosB=

1

3

．
（1）求b的值．
（2）求sin（2B+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理和已知条件建立等式求得c．
（2）利用倍角公式可求得cos2B，进而根据同角三角函数关系求得cos2A，最后根据两角和公式求得答案．

解答： 解：（1）∵b•sinA=6c•sinB，
∴

sinA

sinB

=

a

b

=

6c

b

∴c=

a

6

=1
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

36+1-b2

12

=

1

3

，
∴b=

11

．
（2）∵cosB=

1

3

，
∴cos2B=2cos²B-1=2×

1

9

-1=-

7

9

∵cosB=

1

3

＞0，
∴0＜∠B＜

π

2

，
∴0＜∠2B＜π，
∴sin2B=

1-cos22B

=

4 2

3

，
∴sin（2B+

π

4

）=sin2Bcos

π

4

+cos2Bsin

π

4

=

4 2

3

×

2

2

-

7

9

×

2

2

=

24-7 2

18

．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，三角函数恒等变换的运用等基础知识以及考生计算能力．