Question

已知函数f（x）=sinxcosx+

3

cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

3

]，求函数分f（x）的值域；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求cosx的范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数的解析式，利用辅助角公式，写成一个角的一个三角函数的形式，然后，利用周期公式进行求解；
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

3

]，同时结合三角函数的图象，求解值域；
（Ⅲ）结合余弦定理，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=sinxcosx+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π；
∴函数f（x）的周期π；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

3

]，
∴

π

3

＜2x+

π

3

≤π，
∴0≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴

3

2

≤sin（2x+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，
∴函数分f（x）的值域[

3

2

，1+

3

2

]；
（Ⅲ）∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cox＜1，
∴cosx的范围[

1

2

，1）．

点评：本题重点考查三角函数的图象与性质，余弦定理及其运用，属于中档题，难度中等．