Question

△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a²=b（b+c），则

B

A

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a²=b²+bc代入，约分后再将b+c=

a2

b

代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．

解答： 解：∵a²=b（b+c），即a²=b²+bc，b+c=

a2

b

，
∴由正弦、余弦定理化简得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

c2+bc

2ac

=

b+c

2a

=

a2

2ab

=

a

2b

=

sinA

2sinB

，
则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，
∵a²=b²+c²-2bccosA，且a²=b（b+c）=b²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-b2-bc

2bc

=

c(c-b)

2bc

＞0，即c＞b，
∴C＞B，
∵A+B+C=π，
∴A+2B＜π，
故A+2B=π不成立，舍去，
∴A=2B，
则

B

A

=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．