Question

14．已知函数f（x）=2sin2x+2sin²2x+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x+φ），（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式对函数解析式化简，利用周期公式求得最小正周期．
（Ⅱ）先求得g（x）的表达式，推断在取得最大值时，表达式$\frac{π}{3}$．
（Ⅲ）确定g（x）的解析式，根据三角函数图象与性质求得单调区间．

解答 解：（Ⅰ） f（x）=2sin2x+1-cos4x+cos4x=2sin2x+1，
所以T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
当2x+2φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时取得最大值，将x=$\frac{π}{3}$代入上式，
解得φ=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{12}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
又-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴函数g（x）的单调递增区间为：[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ，]（k∈Z）．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质；三角函数的单调性，三角函数的最值、和角公式和二倍角公式．