Question

5．已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数f（x）极值点的个数并说明理由；
（Ⅲ） k为整数，且当x＞0时，（x-k）（f′（x）-4x+2）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据k=f′（1），再根据点斜式求出切线方程．
（Ⅱ）利用导数求函数的单调性，可得函数f（x）极值点的个数；
（Ⅲ）求参数的取值范围，就求k的最值问题，利用导数求函数的最值，故当x＞0时，令g（x）=$\frac{x+1}{ex-1}$+x，问题转化为求g（x）的最值问题．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+4x-3，则f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0…（4分）
（Ⅱ）∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，∴f'（0）•f'（1）＜0，…（6分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，则h'（x）=e^x+4x＞0，
∴f'（x）在[0，1]上单调递增，
∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点          …（8分）
（Ⅲ）（x-k）（f'（x）-4x+2）+x+1＞0可化为（x-k）（e^x-1）+x+1＞0．
等价于k＜$\frac{x+1}{ex-1}$+x　（x＞0）．①…（9分）
令g（x）=$\frac{x+1}{ex-1}$+x，则
g′（x）=$\frac{-xex-1}{?ex-1?2}$+1=$\frac{ex?ex-x-2?}{?ex-1?2}$．…（10分）
h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增．
而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．…（12分）
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈（1，2）．
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．
又由g′（α）=0，
可得e^α=α+2，∴g（α）=α+1∈（2，3）． …（13分）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．…（14分）

点评 本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的问题，求参数的取值范围经常就是转化为求某个函数的最值问题．