Question

15．以半径为R的半球的球心O为顶点的圆锥内接于半球，且圆锥底面平行于半球大圆面，则圆锥体积的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³．

Answer 1

分析 设圆锥高为h，则底面半径为$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，可得圆锥体积，利用导数的方法求出圆锥体积的最大值．

解答 解：设圆锥高为h，则底面半径为$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
∴圆锥体积V=$\frac{1}{3}π（{R}^{2}-{h}^{2}）h$，
∴V′=$\frac{1}{3}π（{R}^{2}-3{h}^{2}）$，
∴R=$\sqrt{3}$h时，圆锥体积的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³

点评 本题考查圆锥体积的最大值，考查学生的计算能力，正确表示圆锥体积是关键．