Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上相邻的两个最低点和最高点坐标分别为（-$\frac{π}{6}$，-2），（$\frac{5π}{6}$，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据条件分别求出A，ω和φ的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得T=2（$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2π，
由$T=\frac{2π}{ω}=2π$，得ω=1，…（2分）
又$\left\{\begin{array}{l}{B+A=4}\\{B-A=-2}\end{array}\right.$，解得A=3，B=1     …（5分）
令$\frac{5π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得当k=0时，φ=-$\frac{π}{3}$，
则f（x）=3sin（x-$\frac{π}{3}$）+1，…（8分）
（2）当2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z，…（12分）
（说明：k∈Z条件只要有一个不扣分，没有扣1分）

点评 本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数单调性的求解，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．