Question

14．设n∈N^*，函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞）
（1）求函数g（x）的单调区间和最值；
（2）若当n=3时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数g（x）的导数，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；
（2）问题转化为只需当x∈（0，+∞）时，f（x）_max≤t≤g（x）_min，只需求出f（x）的最大值和g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-n）}{{x}^{n+1}}$，令 g′（x）=0，解得：x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：

x	（0，n）	${e}^{\frac{1}{n}}$	（n，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$	↗

所以函数g（x）在区间（0，n）上为单调递减，区间（n，+∞）上为单调递增．
g（x）_min=$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$，无最大值．
（2）当n=3时，函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{3}}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{3}}$，x＞0．
由题意，若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）恒成立，
只需当x∈（0，+∞）时，f（x）_max≤t≤g（x）_min．
因为f′（x）=$\frac{1-3lnx}{{x}^{4}}$．令f′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{1}{3}}$．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	（0，${e}^{\frac{1}{3}}$）	${e}^{\frac{1}{3}}$	（${e}^{\frac{1}{3}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{3e}$	↘

所以f（x）_max=f${（e}^{\frac{1}{3}}）$=$\frac{1}{3e}$；
又因为g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-3）}{{x}^{4}}$．令 g′（x）=0，解得：x=3．
由（1）知g（x）_min=g（3）=$\frac{{e}^{3}}{27}$．
综上所述，得$\frac{1}{3e}$≤t≤$\frac{{e}^{3}}{27}$．

点评 本题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用，本题是一道中档题．