Question

9．已知公差为d的等差数列{a_n}满足d≠0且a₂是a₁、a₄的等比中项，记b_n=${a}_{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）若b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中项，求公差为d的值；
（Ⅱ）当d＞0，对任意的正整数n均有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2＜$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$，求公差d的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₂是a₁、a₄的等比中项，可得a₁=d，a_n=nd，b_n=2ⁿd，根据b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中项，求公差为d的值；
（Ⅱ）利用$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2＜$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$，结合求和公式，即可求公差d的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂是a₁、a₄的等比中项，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
∴a₁=d，
∴a_n=nd，∴b_n=2ⁿd，
∵b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中项，
∴2（b₂+4）=（b₁+1）+（b₃+3），
∴2（4d+4）=2d+1+8d+3，
∴d=2；
（Ⅱ）$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜2，
∴d＞$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴d≥$\frac{1}{2}$；
$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1+3+…+2n-1}{2n-1}$d=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$d＞2，
∴d＞2（$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴d＞2，
综上，d＞2．

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．