Question

18．已知函数f（x）=x²+x-2．
（1）试求$g（x）=\frac{{|{f（x）}|-f（x）}}{2}$的解析式；
（2）求g（x）的值域；
（3）若函数y=x²+2ax+a²+a与曲线y=g（x）交于二个不同的点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接化简函数的解析式即可．
（2）利用配方法直接求解函数的值域即可．
（3）求出函数的对称轴，函数的最小值，联立方程组，通过分类讨论求出a的范围．

解答 （本小题满分14分）
解  （1）函数f（x）=x²+x-2．
$g（x）=\frac{{|{f（x）}|-f（x）}}{2}$=$\frac{|{x}^{2}+x-2|-{x}^{2}-x+2}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}0，x≤-2或x≥1\\-{x}^{2}-x+2，-2＜x＜1\end{array}\right.$
$g（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x≤-2或x≥1\\-{x^2}-x+2，-2＜x＜1\end{array}\right.$…（4分）
（2）∵$-{x^2}-x+2=-{（x+\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$，∴$g（x）∈[0，\frac{9}{4}]$…（6分）
（3）因为y=T（x）=x²+2ax+a²+a=（x+a）²+a，函数的对称轴为x=-a，
最小值为a，联立方程$\left\{\begin{array}{l}y={（x+a）^2}+a\\ y=-{x^2}-x+2\end{array}\right.⇒2{x^2}+（2a+1）x+{a^2}+a-2=0$，△=-4a²-4a+17，$△＞0?-4{a^2}-4a+17＞0?\frac{{-1-3\sqrt{2}}}{2}＜a＜\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}$…（7分）
$T（1）={a^2}+3a+1＜0?\frac{{-3-\sqrt{5}}}{2}＜a＜\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}$…（8分）
①当$a≤\frac{{-1-3\sqrt{2}}}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}△≤0\\ T（1）＞0\\{T_{min}}=a＜0\end{array}\right.$故y=T（x）与函数g（x）=0在区间（1，+∞）上
恒有二个不同的点．
②当$\frac{{-1-3\sqrt{2}}}{2}＜a≤\frac{{-3-\sqrt{5}}}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ T（1）≥0\\{T_{min}}=a＜0\\-a＞1\end{array}\right.$，故y=T（x）与函数g（x）=0在
区间（1，+∞）上恒有二个不同的点．
③当$\frac{{-3-\sqrt{5}}}{2}＜-a＜\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ T（1）＜0\end{array}\right.$，
故y=T（x）与函数g（x）=0有二个交点，且二个交点位于点（1，0）左右两侧．
④当$\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}$时，要使y=x²+2ax+a²+a与曲线y=g（x）有两个不同的交点，联立方程$\left\{\begin{array}{l}y={（x+a）^2}+a\\ y=-{x^2}-x+2\end{array}\right.⇒2{x^2}+（2a+1）x+{a^2}+a-2=0$
即方程2x²+（2a+1）x+a²+a-2=0在区间（-2，1）内有二个根$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\-2＜-\frac{2a+1}{4}＜1\\{a^2}-3a+4≥0\\{a^2}+3a+1≥0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{{-1-3\sqrt{2}}}{2}＜a＜\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}\\-\frac{5}{2}＜a＜\frac{9}{2}\\ a≥\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{{-1-3\sqrt{2}}}{2}＜a＜\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}\\-\frac{5}{2}＜a＜\frac{9}{2}\\ a≥\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}\\ \frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.⇒\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}≤a＜\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}$
⑤当$a≥\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}△≤0\\{T_{min}}=a＞0\end{array}\right.$，故函数y=x²+2ax+a²+a与曲线y=g（x）只有一个交点或没有交点．
综合①②③④⑤得实数a的取值范围为$a＜\frac{{-1+3\sqrt{2}}}{2}$…（14分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的零点以及根的分布，考查计算能力．