Question

2．已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F₂且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），根据题目条件得出a²-b²=1，①，$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，②由①②联合求解即可．

解答 解：
设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）
∵可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
∴a²-b²=1，①AB经过右焦点F₂且垂直于x轴，
且|AB|=3，
A（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），
代入方程得出：$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，②
联合①②得出a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1

点评 本题考察了椭圆的几何性质，方程的求解，属于中档题，关键是运用待定系数法求解，列出方程组即可．