Question

7．已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m，求直线被椭圆截得的线段AB最长时的直线方程．

Answer 1

分析 设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出|AB|，变形后利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，代入化简，利用二次函数的性质求出|AB|最大值，以及此时m的值，即可确定出此时直线l的方程．

解答 解：联立得：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
消去y得：5x²+2mx+m²-1=0，
由△=-16m²+20≥0，得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$$\sqrt{5-4{m}^{2}}$，
∵m∈[-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]，
∴当m=0时，|AB|_max=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，此时直线l：y=x．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系；关键是利用弦长公式得到关于m的式子，利用m的范围求弦长最值．