Question

16．观察下列等式
若锐角θ满足sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若锐角θ满足sin³θ+cos³θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若锐角θ满足sin⁵θ+cos⁵θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
请你仔细观察上述几个等式的规律，写出一个一般性的命题：若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．．

Answer 1

分析 利用已知条件，找出概率写出结果即可．

解答 解：由：若锐角θ满足sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若锐角θ满足sin³θ+cos³θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
若锐角θ满足sin⁵θ+cos⁵θ=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$
可以看出，等式左侧是正弦函数与余弦函数的奇数次幂的和，右侧是$\sqrt{2}$依次减半，推出结果是正弦函数与余弦函数乘积的结果为$\frac{1}{2}$．
可得一般性结论为：
若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．
故答案为：若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=2{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^{2n+1}}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$或
若锐角θ满足${sin^{2n+1}}θ+{cos^{2n+1}}θ=\frac{{\sqrt{2}}}{2^n}（n∈N）$，则$sinθcosθ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题 关键，考查观察能力．